高考数学指南:转化与化归思想在数学答题中的应用

2020-02-25 14:17 来源: 高考学习网 本文影响了:318人

所谓转化与化归思想,就是将待解决的问题和未解决的 问题,采取某种策略,转化归结为一个已经能解决的问 题;或者归结为一个熟知的具有确定解决方法和程序的 问题;归结为一个比较容易解决的问题,最终求得原问 题的解。

一、
转化与化归思想的原则

(1)熟悉已知化原则:将陌生的问题转化为熟悉的问题, 将未知的问题转化为已知问题,以便于我们运用熟知的 知识、经验和问题来解决。

(2)简单化原则:将复杂问题转化为简单问题,如三维空间问题转化为二维平面问题,通过简单问题的解决思路和方法,获得 对复杂问题的解答启示和思路以达到解决复杂问题的目的。

(3)具体原则:化归方向应由抽象到具体。

(4)和谐统一性原则:转化问题的条件或结论,使其表现形式更 符合数与形内部所表示的和谐统一的形式;或者转化命题,使 其推演有利于运用某种数学方法或符合人们的思维规律。

(5)正难则反的原则:当问题正面讨论遇到困难时,应想到问题 的反面;或问题的正面较复杂时,其反面一般是简单的;设法 从问题的反面去探求,使问题获得解决。

二、转化与化归思想常用到的方法

(1)直接转化法:把原问题直接转化为基本定理、基本公式 或基本图形问题。

(2)换元法:运用“换元”把超越式转化为有理式或使整式 降幂等,把较复杂的函数、方程、不等式问题转化为易于 解决的基本问题。

(3)数形结合法:研究原问题中数量关系(解析式)与空间形 式(图形)关系,通过互相变换获得转化途径。

(4)构造法:“构造”一个合适的数学模型,把问题变为易 于解决的问题。

(5)坐标法:以坐标系为工具,用计算方法解决几何问题, 是转化方法的一个重要途径。

(6)类比法:运用类比推理,猜测问题的结论,易于确定转化途径。

(7)特殊化方法:把原问题的形式向特殊化形式转化,并证 明特殊化后的结论适合原问题。

(8)等价问题法:把原问题转化为一个易于解决的等价命题, 达到转化的目的。

(9)加强命题法:在证明不等式时,原命题难以得证,往往 把命题的结论加强,即命题的结论加强为原命题的充分条 件,反而能将原命题转化为一个较易证明的命题,比如在证 明不等式时,原命题往往难以得证,这时常把结论加强,使 之成为原命题充分条件,从而易证。

(10)补集法:如果正面解决问题有困难,可把原问题结果看 作集合 A,而包含问题的整体问题的结果类比为全集 U,通 过解决全集 及补集∁UA 使原问题得以解决。

三、典型试题解析

1、特殊与一般的转化

高考数学指南:转化与化归思想在数学答题中的应用(含范例详解)


归纳拓展 本题求an时采用了特殊化的方法,这是归纳——猜想——证明的归纳推理。当问题难以入手时,应先对特殊情况或简单情形进行观察、分析,发现问题中特殊的数量或关系结构或部分元素,然后推广到一般情形,以完成从特殊情形的研究到一般问题的解答的过渡,这就是特殊化的化归策略。

数学题目有的具有一般性,有的具有特殊性,解题时,有时需要把一般问题化归为特殊问题,有时需要把特殊问题化归为一般问题。

2、正难则反的转化与化归

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归纳拓展 本题若从正面讨论则需分类讨论求解,繁不堪言,但从其反面“三条抛物线都不与x轴相交”着手,求出a的取值范围,再求其补集,则使问题简单得多了。一个题目若出现多种成立的情况,则不成立的情况一般较少,易从反面考虑,在概率计算中有较多这样的问题。

3、抽象问题与具体问题的转化

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4、函数、不等式、方程之间的转化

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归纳拓展 本题的求解涉及两类题型和求解的方法:

(1)求参数的范围问题,方法是通过对函数单调性的研究,转化为不等式的恒成立问题,进而转化为求函数的最值问题求解。

(2)研究函数的零点问题,方法是通过研究函数在某区间有最大(或最小)值f(t),而函数又在此区间有零点,则结合图形分析,可得f(t)≥0(或f(t)≤0)。

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